已知函数在[0，+∞）上单调递增，数列{an}满足，，（n∈N*）．（Ⅰ）求实...

已知函数

在[0，+∞）上单调递增，数列{a_n}满足 manfen5.com 满分网

，

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求实数a的取值范围以及a取得最小值时f（x）的最小值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求证： manfen5.com 满分网

（n∈N^*）．

（Ⅰ）由题意，f′（x）=≥0在[0，+∞）上恒成立，分离参数，可得a≥在[0，+∞）上恒成立，求出最值，即可得到结论；（Ⅱ）先证明{}是常数数列，再证明{an-1}是首项为-，公比为的等比数列，即可求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）由（Ⅰ）知对x∈[0，+∞）恒成立，令x=，则，可得＜ln（3n+1-2）-ln（3n-2），叠加即可证得结论．（Ⅰ）【解析】由题意，f′（x）=≥0在[0，+∞）上恒成立 ∴a≥在[0，+∞）上恒成立 ∵x∈[0，+∞），∴∈（0，1] ∴a≥1 当a=1时，f（x）min=f（0）=0；（Ⅱ）【解析】 ∵， ∴= ∴{}是常数数列 ∵，， ∴ ∴= ∴ ∴ ∴{an-1}是首项为-，公比为的等比数列 ∴an-1=（-）• ∴an=1-；（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知对x∈[0，+∞）恒成立令x=，则 ∴＜ln（+1）=ln（3n+1-2）-ln（3n-2） ∴++…+＜[ln（32-2）-ln（31-2）]+[ln（33-2）-ln（32-2）]+…+ln（3n+1-2）-ln（3n-2）=ln（3n+1-2） ∴

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考点分析：

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