Question

函数是定义在（-1，1）上的奇函数，且．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）解不等式．

Answer

（1）由f（x）为奇函数，得到f（0）=0，代入求出b的值，再由f（1）=，求出a的值，即可确定出f（x）解析式；
（2）任取x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，判断f（x1）-f（x2）的正负即可确定出函数的增减性；
（3）所求不等式移项后利用奇函数的性质变形，再利用函数f（x）为增函数，利用增函数的性质及自变量的范围列出关于t的不等式，求出不等式的解集即可．
【解析】
（1）∵f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，
∴b=0，
∴f（x）=，x∈（-1，1），
∵f（1）=，
∴a=1，
则f（x）=，x∈（-1，1）；
（2）任取x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=-==，
由x1＜x2，得x1-x2＜0，
由x1，x2∈（-1，1），得x1x2∈（-1，1），即1-x1x2＞0，
∵1+x12≥1，1+x22≥1，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
则函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）∵f（x）在（-1，1）上是奇函数，
∴f（2-t）=-f（t-2），
∴f（）＜f（t-2），
又f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴，
解得：，
则不等式的解集为（，3）．