作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,而k=表示区域内动点P(x,y)与原点连线的斜率,运动点P可得k的取值范围为[2,4].不等式a(x2+y2)≥(x+y)2可化为a≥1+,再算出不等式右边的最大值,即可得到实数a的最小值.
【解析】
作出不等式组表示的平面区域,
得到如图的△ABC及其内部,
其中A(,),B(1,4),C(2,4)
设k=,表示区域内动点P(x,y)与原点O连线的斜率,
运动点P,可得当P与A重合时,斜率取得最小值为2;
当P与C重合时,斜率取得最大值为4.
因此,k=的取值范围为[2,4]
∵不等式a(x2+y2)≥(x+y)2恒成立,
∴两边都除以x2+y2,得a≥=1+=1+
∵k∈[2,4],可得∈[,]
∴t=1+的取值范围为[,]
∵a≥1+对任意k∈[2,4]恒成立,∴a≥(1+)max=
故选:C