Question

在直角坐标系xOy中，点，点F为抛物线C：y=mx²（m＞0）的焦点，线段MF恰被抛物线C平分．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）过点M作直线l交抛物线C于A，B两点，设直线FA、FM、FB的斜率分别为k₁、k₂、k₃，问k₁，k₂，k₃能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l的方程；若不能，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）确定焦点F的坐标、线段MF的中点坐标，代入抛物线方程，即可求m的值；
（Ⅱ）设出l方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，及k1，k2，k3能成公差不为零的等差数列，可得方程，即可求得直线l的方程．
【解析】
（Ⅰ）焦点F的坐标为，线段MF的中点在抛物线C上，
∴，∴8m2+2m-1=0，∴（舍）．  …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：抛物线C：x2=4y，F（0，1）．
设l方程为：，A（x1，y1）、B（x2，y2），
则由得：x2-4kx+8k+2=0，△=16k2-4（8k+2）＞0，
解得或． 
由韦达定理可得，，…（8分）
假设k1，k2，k3能成公差不为零的等差数列，则k1+k3=2k2．
而
=，…（11分）
∵，∴，8k2+10k+3=0，解得：（符合题意），（此时直线l经过焦点F，k1=k2=k3，不合题意，舍去），…（14分）
直线l的方程为，即x+2y-1=0．
故k1，k2，k3能成公差不为零的等差数列，直线l的方程为：x+2y-1=0． …（15分）