Question

已知函数
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）讨论函数f（x）的奇偶性；
（3）讨论函数f（x）的单调性．

Answer

（1）由题意知x满足，由此解得函数的定义域．
（2）由于函数的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=-f（x），故函数f（x）为奇函数．
（3）先利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，1）上是减函数，再根据奇函数的性质可得函数f（x）在（-1，0）内单调递减．
【解析】
（1）由题意知x满足，解得-1＜x＜1且x≠0，
则函数的定义域为 （-1，0）∪（0，1）． …（4分）
（2）函数的定义域关于原点对称且对定义域中的任意x，
有 ，
所以函数f（x）为奇函数．…（8分）
（3）任取 x1，x2∈（0，1），令 x1＜x2 ，
则有  
=（）+- 
=（）+-．
由 x1＜x2且 x1，x2∈（0，1），知，，
故f（ x1）-f（ x2）＞0，即函数f（x）在x∈（0，1）内单调递减，
由（2）知函数f（x）为奇函数，则函数f（x）在（-1，0）内单调递减．…（13分）