Question

已知向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），=sin2C，且A、B、C分别为△ABC三边a、b、c所对的角．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA、sinC、sinB成等差数列，且sinB=18，求c边的长．

Answer

（1）利用两个向量的数量积公式求得，再由已知，可得从而求得C的值．
（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB，由条件利用正弦定理、余弦定理求得c边的长．
【解析】
（1）由于 ，…（2分）
对于△ABC，A+B=π-C，0＜C＜π，∴sin（A+B）=sinC，∴．…（3分）
又∵，∴．…（6分）
（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB，
由正弦定理得2c=a+b．…（8分）∵，即abcosC=18，ab=36．…（10分）
由余弦弦定理c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-3ab，…（11分）
∴c2=4c2-3×36，c2=36，∴c=6．…（12分）