Question

已知f（x）=sinx+2x，x，且f（1+a）+f（2a）＜0，则a的取值范围是    ．

Answer

根据函数奇偶性的定义，证出f（x）在其定义域上是奇函数，从而将不等式f（1+a）+f（2a）＜0化成f（1+a）＞f（-2a）．再利用导数研究函数的单调性，可得函数f（x）在上是增函数，由此建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围．
【解析】
∵f（-x）=-sinx-2x=-f（x），
∴函数f（x）在其定义域上是奇函数
因此，不等式f（1+a）+f（2a）＜0可化成f（1+a）＜-f（2a）
即f（1+a）＞f（-2a），
∵函数f（x）=sinx+2x，求导数得f'（x）=cosx+2＞0
∴函数f（x）在上是增函数
由此可得原不等式等价于，解之得-≤a＜-
即实数a的取值范围为[-，-）
故答案为：[-，-）