Question

在边长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中，E是BC的中点，F是DD'的中点
（1）求证：CF∥平面A'DE
（2）求二面角E-A'D-A的平面角的余弦值．

Answer

（1）分别以DA，DC，DD'为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出各顶点坐标后，进而求出直线CF的方向向量和平面A'DE的法向量，根据两个向量的数量积为0，得到两个向量垂直后，进而得到CF∥平面A'DE
（2）结合正方体的几何特征，可得是面AA'D的法向量，结合（1）中平面A'DE的法向量为，代入向量夹角公式，即可求出二面角E-A'D-A的平面角的余弦值．
证明（1）：分别以DA，DC，DD'为x轴，y轴，z轴
建立空间直角坐标系，
则A'（2，0，2），E（1，2，0），
D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），…（2分）
则，
设平面A'DE的法向量是，
则，取，…（4分）
，∵，∴，
所以，CF∥平面A'DE．…（6分）
【解析】
（2）由正方体的几何特征可得
是面AA'D的法向量
又由（1）中向量为平面A'DE的法向量
故二面角E-A'D-A的平面角θ满足；

即二面角E-A'D-A的平面角的余弦值为…（8分）