Question

甲、乙两企业，2000年的销售量均为p（2000年为第一年），根据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为（n²-n+2），乙企业第n年的销售量比前一年的销售量多．
（1）求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式；
（2）根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年的销售量不足另一企业的年销售量的20%，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在那一年出现？是说明理由．

Answer

（1）利用Sn=（n2-n+2），即an=Sn-Sn-1，可求an的表达式；n≥2时，利用bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1），可求bn的表达式；
（2）利用（1）中an，bn的表达式，代入求解，分类计算可得，某企业的年的销售量不足另一企业的年销售量的20%，一企业将被另一企业收购．
【解析】
设甲企业前n年的总销量为Sn，第n年的销量为an，乙企业第n年的销售量bn，根据题意，得Sn=（n2-n+2），bn=（n≥2）
a1=S2-S1=p，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=p（n-1）
故an=，
∵bn=b1+（b2-b1）+…+（bn-bn-1），
∴bn=p++…+=（2-）p．
（2）∵an≥p，bn≥p，∴anbnbn，
故甲企业不可能被乙企业收购，
当n=1时，a1=b1=p，乙企业不可能被甲企业收购，
当n≥2时，
∴an＞bn⇔，
∴n，
则当n=2，3时，经验证n，
当4≤n≤10时，有，
∴n
当n≥11时，，所以必有n＞，
故当n=11时，即2010乙企业可能被甲企业收购．