Question

为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的3小时内，药物在白鼠血液内的浓度y₁与时间t满足关系式：，若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度y₂与时间t满足关系式：．现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．
（1）若a=1，求3小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值
（2）若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4，求正数a的取值范围．

Answer

（1）建立血液中药物的浓度与时间t的函数关系是解决本题的关键，要根据得出的函数关系式采取合适的办法解决该浓度的最值问题；二次函数要注意对称轴和区间的关系、对勾函数要注意基本不等式的运用；
（2）分段求解关于实数a的范围问题，注意函数值域思想的应用．
【解析】
（1）药物在白鼠血液内的浓度y与时间t的关系为：当a=1时，
y=y1+y2=；
①当0＜t＜1时，y=-t++4=-（-）2+，所以ymax=f（）=；
②当1≤t≤3时，∵，所以ymax=7-2（当t=时取到），因为，故ymax=f（）=．
（2）由题意y=
①⇒⇒，又0＜t＜1，得出a≤1；
②⇒⇒由于1≤t≤3得到，令，则，
所以，综上得到以0＜．