Question

已知数列a_n中，a₁=1，a₂=a-1（a≠1，a为实常数），前n项和S_n恒为正值，且当n≥2时，．
（1）求证：数列S_n是等比数列；
（2）设a_n与a_n+2的等差中项为A，比较A与a_n+1的大小；
（3）设m是给定的正整数，a=2．现按如下方法构造项数为2m有穷数列b_n：当k=m+1，m+2，…，2m时，b_k=a_k•a_k+1；当k=1，2，…，m时，b_k=b_2m-k+1．求数列b_n的前n项和为T_n（n≤2m，n∈N^*）．

Answer

（1）直接利用an和Sn的关系：an=Sn-Sn-1 （n≥2）代入整理可得Sn2=Sn-1Sn+1再检验前两项是否成立即可证明结论．
（2）先由（1）的结论结合an和Sn的关系：an=Sn-Sn-1 （n≥2）求出数列的通项；在让A与an+1作差，利用Sn恒为正值对a进行讨论即可比较大小；
（3）由条件可得当m+1≤k≤2m时，bk=ak•ak+1=22k-3．然后分n≤m以及m+1≤n≤2m两种情况转化后直接代入等比数列的求和公式即可．
【解析】
（1）当n≥3时，，
化简得Sn2=Sn-1Sn+1（n≥3），又由a1=1，a2=a-1得，
解得a3=a（a-1），∴S1=1，S2=a，S3=a2，也满足Sn2=Sn-1Sn+1，而Sn恒为正值，
∴数列{Sn}是等比数列．（4分）
（2）Sn的首项为1，公比为a，Sn=an-1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（a-1）an-2，
∴an=
当n=1时，，此时A＞an+1．（6分）
当n≥2时，=．
∵Sn恒为正值∴a＞0且a≠1，
若0＜a＜1，则A-an+1＜0，若a＞1，则A-an+1＞0．
综上可得，当n=1时，A＞an+1；
当n≥2时，若0＜a＜1，则A＜an+1，
若a＞1，则A＞an+1．（10分）
（3）∵a=2∴an=，当m+1≤k≤2m时，bk=ak•ak+1=22k-3．
若n≤m，n∈N*，则由题设得b1=b2m，b2=b2m-1，bn=b2m-n+1
Tn=b1+b2+…+bn=b2m+b2m-1+…+b2m-n+1
=．（13分）
若m+1≤n≤2m，n∈N*，则Tn=bm+bm+1+bm+2+…+bn=

==．
综上得Tn=．（16分）