Question

设函数f（x）=x²+aln（x+1），a∈R．（注：）．
（1）讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，求f（x₂）的取值范围．

Answer

（1）先求函数f（x）的定义域，再求导数f′（x），由于含参数a，分类讨论解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即；
（2）由（1）知存在两个极值点时a的范围，表示出f（x2），构造函数，利用导数即可求得其最值，从而得到取值范围；
【解析】
（1）函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
f′（x）=2x+==，
①当a≥时，f′（x）＞0，f（x）在（-1，+∞）上单调递增；
②当a＜时，f′（x）=0有两个解，，，且x1＜x2，
若x1＞-1，即0＜a＜时，-1＜x1＜x2，此时f（x）在（-1，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减；
若x1≤-1，即a≤0时，x1≤-1＜x2，此时f（x）在（-1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增；
（2）由（1）知：当0＜a＜时f（x）有两个极值点，，，x1＜x2，
则f（x2）=+aln（+1），令t=，0＜t＜1，a=，，
f（x2）=+ln，令g（t）=+ln（0＜t＜1），g′（t）=-tln＞0，
所以g（t）在（0，1）上为增函数，所以g（0）＜g（t）＜g（1），即+＜g（t）＜0，
故f（x2）的取值范围为（+，0）．