Question

设数列{a_n}是等比数列，a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．
（1）用n，x表示通项a_n与前n项和S_n；
（2）若A_n=C_n¹S₁+C_n²S₂+…+C_nⁿS_n，用n，x表示A_n．

Answer

第（1）问的提出是很自然的，在确定参数m和公比q时，自然需要讨论排列数、组合数的性质，此处为：，另外二项展开式中的第二项的求解需要注意题意，即按x的降幂排列．以上两点注意到了很自然的能求出参数m和公比q的值来．
（2）在（1）中求得前n项和Sn的基础上要分两类x=1和x≠1来解答，当x=1时的形式能使我们很容易得到表达式An=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=0Cn+1Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn，联想组合数的性质Cn+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n，很容易构造出解答An的式子及方法．当x≠1时要分两组式子分别计算得到An的值．
【解析】
（1）∵a1=C2m+33m•Am-21∴∴m=3，…（2分）
由的展开式中的同项公式知，

∴an=xn-1
∴由等比数列的求和公式得：…（4分）
（2）当x=1时，Sn=n，
所以：An=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=0Cn+1Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn，
又∵An=nCnn+（n-1）Cnn-1+（n-2）Cnn-2+…+Cn1+0Cn，
∴上两式相加得：2An=n（Cn+Cn1+Cn2+…+Cnn）=n•2n，
∴An=n•2n-1，
当x≠1时，，
所以有：

∴…（10分）