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如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC=BC,M,N分别...

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC=BC,M,N分别是CC1,AB的中点.
(Ⅰ)求证:CN⊥AB1
(Ⅱ)求证:CN∥平面AB1M.

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(Ⅰ)因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥底面ABC,所以BB1⊥平面ABC,所以BB1⊥CN,由此利用直线垂直于平面的性质,能够证明CN⊥AB1. (Ⅱ)法一:连接A1B交AB1于P.因为三棱柱ABC-A1B1C1,所以P是A1B的中点.再利用直线平行于平面的判定理,能够证明CN∥平面AB1M. 法二:取BB1中点P,连接NP,CP.因为N,P分别是AB,BB1的中点,所以NP∥AB1.再由平面与平面平行的性质定理,能够证明CN∥平面AB1M. 证明:(Ⅰ)因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥底面ABC, 所以BB1⊥平面ABC,所以BB1⊥CN.…(1分) 因为AC=BC,N是AB的中点, 所以CN⊥AB.                     …(3分) 因为AB∩BB1=B,…(4分) 所以CN⊥平面AB B1A1.            …(5分) 所以CN⊥AB1.                     …(6分) (Ⅱ)证法一:连接A1B交AB1于P.    …(7分) 因为三棱柱ABC-A1B1C1, 所以P是A1B的中点. 因为M,N分别是CC1,AB的中点, 所以NP∥CM,且NP=CM,…(9分) 所以四边形MCNP是平行四边形,…(10分) 所以CN∥MP.                     …(11分) 因为CN⊄平面AB1M,MP⊂平面AB1M,…(12分) 所以CN∥平面AB1M.              …(14分) 证法二:取BB1中点P,连接NP,CP. …(7分) 因为N,P分别是AB,BB1的中点, 所以NP∥AB1. 因为NP⊄平面AB1M,AB1⊂平面AB1M, 所以NP∥平面AB1M.              …(10分) 同理 CP∥平面AB1M.              …(11分) 因为CP∩NP=P, 所以平面CNP∥平面AB1M.        …(13分) 因为CN⊂平面CNP, 所以CN∥平面AB1M.             …(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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