(Ⅰ)因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥底面ABC,所以BB1⊥平面ABC,所以BB1⊥CN,由此利用直线垂直于平面的性质,能够证明CN⊥AB1.
(Ⅱ)法一:连接A1B交AB1于P.因为三棱柱ABC-A1B1C1,所以P是A1B的中点.再利用直线平行于平面的判定理,能够证明CN∥平面AB1M.
法二:取BB1中点P,连接NP,CP.因为N,P分别是AB,BB1的中点,所以NP∥AB1.再由平面与平面平行的性质定理,能够证明CN∥平面AB1M.
证明:(Ⅰ)因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥底面ABC,
所以BB1⊥平面ABC,所以BB1⊥CN.…(1分)
因为AC=BC,N是AB的中点,
所以CN⊥AB. …(3分)
因为AB∩BB1=B,…(4分)
所以CN⊥平面AB B1A1. …(5分)
所以CN⊥AB1. …(6分)
(Ⅱ)证法一:连接A1B交AB1于P. …(7分)
因为三棱柱ABC-A1B1C1,
所以P是A1B的中点.
因为M,N分别是CC1,AB的中点,
所以NP∥CM,且NP=CM,…(9分)
所以四边形MCNP是平行四边形,…(10分)
所以CN∥MP. …(11分)
因为CN⊄平面AB1M,MP⊂平面AB1M,…(12分)
所以CN∥平面AB1M. …(14分)
证法二:取BB1中点P,连接NP,CP. …(7分)
因为N,P分别是AB,BB1的中点,
所以NP∥AB1.
因为NP⊄平面AB1M,AB1⊂平面AB1M,
所以NP∥平面AB1M. …(10分)
同理 CP∥平面AB1M. …(11分)
因为CP∩NP=P,
所以平面CNP∥平面AB1M. …(13分)
因为CN⊂平面CNP,
所以CN∥平面AB1M. …(14分)