Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₁+a₂+a₃=15，数列{b_n}是等比数列，b₁b₂b₃=27．
（1）若a₁=b₂，a₄=b₃．求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃是正整数且成等比数列，求a₃的最大值．

Answer

（1）由已知可求a2，b2，结合已知a1=b2，可得等差数列{an}的公差d，可求an=，然后由b3=a4，可求{bn}的公比q，进而可求bn
（2）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由已知可得．分别利用等差数列及等比数列的通项表示已知项可得关于d，q的方程，解方程可求d，即可求解
【解析】
（1）由a1+a2+a3=15，b1b2b3=27．
可得a2=5，b2=3，
所以a1=b2=3，从而等差数列{an}的公差d=2，
所以an=2n+1，从而b3=a4=9，{bn}的公比q=3
所以． …（3分）
（2）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
则a1=5-d，，a3=5+d，b3=3q．
因为a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，所以．
设，m，n∈N*，mn=64，
则，整理得，d2+（m-n）d+5（m+n）-80=0．
解得（舍去负根）．
∵a3=5+d，
∴要使得a3最大，即需要d最大，即n-m及（m+n-10）2取最大值．
∵m，n∈N*，mn=64，
∴当且仅当n=64且m=1时，n-m及（m+n-10）2取最大值．
从而最大的，
所以，最大的…（16分）