Question

已知数列{a_n}的首项为a₁=3，通项a_n与前n项和s_n之间满足2a_n=S_n•S_n-1（n≥2）．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}中的最大项．

Answer

（1）把2an=Sn•Sn-1（n≥2）中的an化为Sn-Sn-1，然后两边同除以Sn•Sn-1．结合等差数列定义可证；
（2）由（1）可求得Sn，根据即可求得{an}的通项公式；
（3）根据n≥3时an的单调性及前三项即可求得最大项；
解（1）由2an=Sn•Sn-1（n≥2），得2（Sn-Sn-1）=Sn•Sn-1．
所以（n≥2），
所以是等差数列；
（2）由（1）知，，
所以，
当n=1时，a1=3，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=，
∴；
（3）由a1，a2，a3及n≥3时an的单调性知：是最大项；