Question

已知数列{a_n}中，
（1）求证数列{a_n}不是等比数列，并求该数列的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）设数列{a_n}的前2n项和为S_2n，若3（1-ka_2n）≤S_2n•a_2n对任意n∈N^*恒成立，求k的最小值．

Answer

（1）利用，可得a2=2，a3=2，利用等比数列的定义，可得数列{an}不是等比数列，进而有，可得奇数项与偶数项分别组成等比数列，从而可得该数列的通项公式；
（2）分n为偶数与奇数，分别求和，即可得到结论；
（3）计算S2n=3（2n-1），，将不等式变形，再利用分离参数法，利用单调性，即可确定k的最小值．
（1）证明：∵，∴a2=2，a3=2，
∵，
∴数列{an}不是等比数列；…（2分）
∵，∴
∴a1，a3，a5，…，a2n-1，…，及a2，a4，a6，…，a2n，…成等比数列，公比为2，
∵a1=1，a2=2
∴an=…（6分）
（2）【解析】
Sn=a1+a2+…+an，
当n为偶数时，Sn=（a1+a3+…+an-1）+（a2+a4+…+an）=；…（8分）
当n为奇数时，Sn=（a1+a3+…+an）+（a2+a4+…+an-1）=．…（10分）
因此，Sn=…（12分）
（3）【解析】
S2n=a1+a2+…+a2n=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n）=．       …（13分）
由（1）知，，…（14分）
因此不等式为  3（1-k×2n）≤3（2n-1）2n，
∴k，即k≥-（2n-1），
∴k≥（-2n+1）max，…（16分）
∵F（n）=-（2n-1）单调递减，∴F（1）=-0.5最大，
∴k≥-0.5，即k的最小值为．…（18分）