Question

已知函数f（x）=3-2log₂x，g（x）=log₂x．
（1）如果x∈[1，4]，求函数h（x）=（f（x）+1）g（x）的值域；
（2）求函数M（x）=的最大值；
（3）如果不等式f（x²）f（）＞kg（x）对x∈[2，4]有解，求实数k的取值范围．

Answer

（1）写出h（x）的表达式，借助的二次函数的性质即可求得函数h（x）的值域；
（2）先比较f（x）与g（x）的大小，然后把M（x）化为分段函数，分别求出各段上M（x）的最大值，取其较大者即可；
（3）通过换元，令t=log2x，则不等式可变为关于k、t的不等式，分离出参数k后转化为求函数的最大值处理即可；
解（1）h（x）=（4-2log2x）•log2x=-，
∵x∈[1，4]，∴log2x∈[0，2]，
∴h（x）的值域为[0，2]；
（2）f（x）-g（x）=3（1-log2x），
当x＞2时，f（x）＜g（x）；当0＜x≤2时，f（x）≥g（x），
∴M（x）==，
当0＜x≤2时，M（x）的最大值为1；
当x＞2时，M（x）＜1，；
综上，当x=2时，M（x）取到最大值为1．
（3）由f（x2）f（）＞kg（x），得（3-4log2x）（3-log2x）＞klog2x，
令t=log2x，∵x∈[2，4]，∴t∈[1，2]，
∴存在t∈[1，2]使（3-4t）（3-t）＞kt，即k＜=4t+-15成立，
记h（t）=4t+-15，则k＜h（t）max，
而h（t）在[1，]上递减，在[，2]上递增，所以h（t）max=h（1）=-2，
所以k＜-2．