Question

若点G为△ABC的重心（三角形三边上中线的交点）且AG⊥BG，则cos（A+B）的最大值为    ．

Answer

根据题意画出相应的图形，如图所示，由AD⊥BE，得到△ABG，△BDG，△EDG，△AGE都为直角三角形，设AB=c，BC=a，AC=b，根据D、E分别为BC、AC的中点，分别表示出BC，AE，DE，利用勾股定理列出四个关系式，变形后得到c2=（a2+b2），利用余弦定理表示出cosC，将关系式代入并利用基本不等式求出cosC的最小值，即可确定出cos（A+B）的最大值．
【解析】
根据题意画出相应的图形，如图所示，
∵AD⊥BE，∴△ABG，△BDG，△EDG，△AGE都为直角三角形，
设AB=c，BC=a，AC=b，
∵D、E分别为BC、AC的中点，
∴BC=a，AE=b，DE=c，
根据勾股定理得：AG2+BG2=c2①，GD2+GE2=c2②，
AG2+GE2=b2③，BG2+DG2=a2④，
（①+②）-（③+④）得：c2=（a2+b2），即c2=（a2+b2），
在△ABC中，cosC==•≥，
当且仅当a=b时，cosC最小值为，
∵cos（A+B）=-cosC，
∴cos（A+B）的最大值为-．
故答案为：-