Question

函数f（x）=（1+x-+-+…-+） cos2x在区间[-3，3]上的零点的个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

Answer

先将原函数分解成两个函数g（x）=1+x-+-+…-+和y=cos2x的积，分别计算这两个函数的零点．前面的用导数证明是单调增，且f（-3）f（3）＜0，所以必有一个零点；后面一个函数y=cos2x的零点是四个，从而得出答案．
【解析】
设g（x）=1+x-+-+…-+，则g′（x）=1-x+x2-x3+…+x2012=，
在区间[-3，3]上，＞0，故函数g（x）在[-3，3]上是增函数，
由于g（-3）式子中右边x的指数为偶次项前为负，奇数项前为正，结果必负，即g（-3）＜0，
且g（3）=1+3+（-）+（-）+…+（-）＞0，
故在[-3，3]上函数g（x）有且只有一个零点．
又y=cos2x在区间[-3，3]上有四个零点，且与上述零点不重复，
∴函数f（x）=（1+x-+-+…-+）cos2x在区间[-3，3]上的零点的个数为1+4=5．
故选C．