Question

O是锐角三角形ABC的外心，由O向边BC，CA，AB引垂线，垂足分别是D，E，F，给出下列命题：
①；
②；
③||：||：||=cosA：cosB：cosC；
④∃λ∈R，使得（+）．
以上命题正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

由O点是锐角三角形ABC的外心，利用外心的概念，结合向量加法的平行四边形法则得到向量与向量的关系，运用反证法的思想得到命题①②均不正确；
利用三角形外接圆半径的关系，把||：||：||转化为：：，进一步转化为cos∠COD：cos∠AOE：cos∠BOF，借助于同弧所对圆心角是圆周角的2倍得到③||：||：||=cosA：cosB：cosC；
利用正弦定理把命题④中的sinB和sinC替换为三角形的边长和外接圆的半径，由替换整理可求出存在的实数λ的值．
【解析】
因为O是锐角三角形ABC的外心，所以O在△ABC内部，由O向边BC，CA，AB引垂线，垂足分别是D，E，F，
则D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点，
由向量加法的平行四边形法则可知，，
若，则，所以，说明A，O，D一定共线，因为OD⊥BC，
所以AD⊥BC，则有AB=AC，而原三角形只是锐角三角形，不一定有AB=AC，所以命题①错误；
由，
所以=，
因为命题①不正确，所以命题②不正确；
因为O是△ABC的外心，所以OA=OB=OC，又OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB
所以OD：OE：OF=：：=cos∠COD：cos∠AOE：cos∠BOF，
∵∠COD=∠BOC=∠A，∠AOE=∠COA=∠B，∠BOF=∠AOB=∠C，
∴OD：OE：OF=cosA：cosB：cosC，所以命题③正确；
在△ABC中，因为，
所以=，
因为，若∃λ∈R，使得（+），
即，则，所以．
所以∃λ∈R，使得（+），所以命题④正确．
综上，正确命题是③④．
故选B．