Question

已知数列{ a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-l；数列{b_n}满足b_n-1-b_n=b_nb_n-1（n≥2，n∈N^*）b₁=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和T．

Answer

（Ⅰ）利用即可得出an，由bn-1-bn=bnbn-1，两边同除以bnbn-1得，进而利用得出数列的通项公式即可得出．．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：，再利用“错位相减法”即可得出Tn．
【解析】
（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2a1-1，解得a1=1．
又当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-1-（2an-1-1）=2an-2an-1，
∴an=2an-1（n≥2）．
∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．
∴．
由bn-1-bn=bnbn-1，得．
又b1=1，所以数列{}是首项为，公差为1的等差数列．
∴．
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：，
∴Tn=1×2+2×21+…+n•2n-1，
2Tn=1×21+2×22+…+（n-1）•2n-1+n•2n，．
两式相减，得=-n•2n=2n-1-n•2n．
∴．