Question

设点P是圆x²+y²=4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP，垂足为P_o，且=．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（m≠0）与（Ⅰ）中的轨迹C交于不同的两点A，B．
（1）若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求实数m的取值范围；
（2）若以AB为直径的圆过曲线C与x轴正半轴的交点Q，求证：直线l过定点（Q点除外），并求出该定点的坐标．

Answer

（Ⅰ）代入法：设点M（x，y），P（x，y），则由题意知P（x，0），由=可得点M与点P坐标间的关系式，再根据点P在圆上代入P点坐标即可得到M坐标方程，即所求轨迹方程；
（Ⅱ）（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立消掉y得x的二次方程，由题意知△＞0①，根据直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，得，即，借助韦达定理可得m、k的等式，进而求得k值，代入①即可解得m的范围；（2）依题意，，即=0，变形为x1、x2的式子，进而用韦达定理可得k、m的等式，据m与k的关系式消掉直线l方程y=kx+m中的m，即可求得该直线所过定点；
【解析】
（Ⅰ）设点M（x，y），P（x，y），则由题意知P（x，0）．
由，=（0，-y），且=，得（x-x，-y）=（0，-y）．
所以，于是，
又，所以．
所以，点M的轨迹C的方程为．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0．
所以，△=（8mk）2-16（3+4k2）（m2-3）＞0，即3+4k2-m2＞0．①，且，
（1）依题意，，即，所以．
所以=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．
所以km（x1+x2）+m2=0，即km（-）+m2=0．
因为m≠0，所以k（-）+1=0，解得．
将得代入①，得m2＜6．
所以，m的取值范围是（-，0）∪（0，）．
（2）曲线与x轴正半轴的交点为Q（2，0）．
依题意，，即=0．
于是（2-x1，-y1）•（2-x2，-y2）=0．
∴x2-2（x1+x2）+4+y1y2=0，即x2-2（x1+x2）+4+（kx1+m）（kx2+m）=0，
∴（k2+1）•+（km-2）•（-）+4+m2=0，
化简，得7m2+16mk+4k2=0．
解得，m=-2k或m=-，且均满足3+4k2-m2＞0，
当m=-2k时，直线l的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0）（舍去）；
当m=-时，直线l的方程为y=k（x-），直线过定点（，0）．
所以，直线过定点（，0）．