Question

已知函数f（x）=lnx+
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设m∈R，对任意的a∈（-l，1），总存在x_o∈[1，e]，使得不等式ma-（x_o）＜0成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）证明：ln²l+1n²2+…+ln²n＞．

Answer

（I）利用导数求出函数的极值，然后求f（x）的单调区间；
（II）依题意，ma＜f（x）max，由（I）可得f（x）在x=e处取得最大值，故问题转化为ma-＜0对于任意的a∈（-1，1）恒成立，即可求m的取值范围；
（III）由（Ⅰ）知函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，从而可得lnx2≥1-．再利用叠加及放缩，可得ln1+ln2+…+lnn＞恒成立，再结合柯西不等式即可证明不等式成立．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）==，x＞0．
令f′（x）＞0，得x＞1，因此函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞）．
令f′（x）＜0，得0＜x＜1，因此函数f（x）的单调递减区间是（0，1）．…（4分）
（Ⅱ）依题意，ma＜f（x）max．
由（Ⅰ）知，f（x）在[1，e]上是增函数，
∴f（x）max=f（e）=lne+-1=．
∴ma＜，即ma-＜0对于任意的a∈（-1，1）恒成立．
∴解得-≤m≤．
所以，m的取值范围是[-，]．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，
故f（x）=lnx+-1≥f（1）=0，
∴lnx≥1-，以x2替代x，得lnx2≥1-．
∴ln2l+1n22+…+ln2n＞1-+1-+…+1-
即ln2l+1n22+…+ln2n＞n-（++…+）．
又++…+＜1+++…+
∴-（++…+）＞-[1+++…+]
∴n-（++…+）＞n-[1+++…+]=n-[1+1-+-+…+]=，
∴ln1+ln2+…+lnn＞．
由柯西不等式，
（ln2l+1n22+…+ln2n）（12+12+…+12）≥（ln1+ln2+…+lnn）2．
∴ln2l+1n22+…+ln2n≥（ln1+ln2+…+lnn）2＞．
∴ln2l+1n22，+…+ln2 n＞．…（14分）