Question

二次函数f（x）的图象顶点为A（1，16），且图象在x轴上截得线段长为8．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）令g（x）=（2-2a）x-f（x）；
①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调增函数，求实数a的取值范围；
②求函数g（x）在x∈[0，2]的最小值．

Answer

（1）设f（x）=a（x-1）2+16=ax2-2ax+a+16，图象在x轴上截得线段长为8，利用弦长公式与韦达定理可求得a的值，从而可求函数f（x）的解析式；
（2）求得g（x）的表达式，利用g（x）在[0，2]上是单调增函数，即可求实数a的取值范围．
【解析】
（1）由条件设二次函数f（x）=a（x-1）2+16=ax2-2ax+a+16，
设f（x）=0的两根为：x1，x2，令x1＜x2，
∵图象在x轴上截得线段长为8，由韦达定理得：
（x2-x1）2=（x2+x1）2-4x2x1=（-2）2-4×a+16 a=64
解得a=-1，
∴函数的解析式为f（x）=-x2+2x+15．
（2）①∵f（x）=-x2+2x+15，
∴g（x）=（2-2a）x-f（x）=x2-2ax-15，
而g（x）在x∈[0，2]上是单调增函数，
∴对称轴x=a在[0，2]的左侧，
∴a≤0．
所以实数a的取值范围是{a|a≤0}．
②g（x）=x2-2ax-15，x∈[0，2]，
对称轴x=a，
当a＞2时，g（x）min=g（2）=4-4a-15=-4a-15，
当a＜0时，g（x）min=g（0）=-15，
当0≤a≤2时，g（x）min=g（a）=a2-2a2-15=-a2-15．