Question

定义在[-1，1]上的奇函数f（x）满足f（1）=2，且当a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有．
（1）试问函数f（x）的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由并加以证明．
（2）若对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）假设函数f（x）的图象上存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，推出函数f（x）在[-1，1]上是增函数，这与假设矛盾，可得假设不成立，命题得证．
（2）由题意可得函数f（x）的最大值小于或等于2（m2+2am+1），即m2+2am≥0．令关于a的一次函数g（a）=m2+2am，则有 ，由此求得m的范围．
【解析】
（1）假设函数f（x）的图象上存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，
则A、B两点的纵坐标相同，设它们的横坐标分别为 x1 和x2，且x1＜x2．
则f（x1）-f（x2）=f（x1 ）+f（-x2）=[x1+（-x2）]．
由于 ＞0，且[x1+（-x2）]＜0，∴f（x1）-f（x2）＜0，
故函数f（x）在[-1，1]上是增函数．
这与假设矛盾，故假设不成立，即 函数f（x）的图象上不存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直．
（2）由于 对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
∴故函数f（x）的最大值小于或等于2（m2+2am+1）．
由于由（1）可得，函数f（x）是[-1，1]的增函数，故函数f（x）的最大值为f（1）=2，
∴2（m2+2am+1）≥2，即 m2+2am≥0．
令关于a的一次函数g（a）=m2+2am，则有 ，
解得 m≤-2，或m≥2，或 m=0，故所求的m的范围是{m|m≤-2，或m≥2，或 m=0}．