Question

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
（1）求证：BC∥平面C₁B₁N；
（2）求证：BN⊥平面C₁B₁N；
（3）求此几何体的体积．

Answer

（1）利用几何体的三视图，判断侧面BCC1B1是矩形，利用直线与平面平行的判定定理证明BC∥平面C1B1N；
（2）该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，BA，BC，BB1两两垂直．通过计算得出∠BNB1 为直角，从而有BN⊥B1N，再根据线面垂直的判定，即可证明BN⊥平面C1B1N；
（3）连接CN，把几何体分割成一个三棱锥和一个四棱锥，即可求解．
【解析】
（1）证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA，BC，BB1两两互相垂直．
∵BC∥B1C1，B1C1⊂平面C1B1N，BC⊄平面C1B1N，
∴BC∥平面C1B1N…（4分）
（2）连BN，过N作NM⊥BB1，垂足为M，
∵B1C1⊥平面ABB1N，BN⊂平面ABB1N，
∴B1C1⊥BN，…（5分）
由三视图知，BC=4，AB=4，BM=AN=4，BA⊥AN，
∴BN==4，B1N===4，…（6分）
∵BB1=82=64，B1N2+BN2=32+32=64，
∴BN⊥B1N，…（7分）
∵B1C1⊂平面B1C1N，B1N⊂平面B1C1N，B1N∩B1C1=B1
∴BN⊥平面C1B1N        …（9分）
（3）连接CN，
VC-BCN=×BC•S△ABN=×4××4×4=…（11分）
∴平面B1C1CB⊥ANB1B=BB1，NM⊥BB1，NM⊂平面B1C1CB，
∴NM⊥平面B1C1CB，
V=×NM•S=×4×4×8=…（13分）
此几何体的体积V=VC-BCN+V=+=32；
V=VC-BCN+V=+=…（14分）