Question

已知函数f（x）对任意的实数x₁，x₂，满足2f（x₁）•f（x₂）=f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）且f（0）≠0，则f（0）=    ，此函数为    函数（填奇偶性）．

Answer

根据函数f（x）的对应法则，取x2=0代入化简可得2f（x1）[f（0）-1]=0，结合2f（x1）≠0即可得到f（0）=1．再令x1=-x且x2=x，代入化简可得f（-2x）=2f（x）•f（-x）-1；同理得到f（-2x）=2f（x）•f（-x）-1，因此f（-2x）=f（2x），根据函数奇偶性的定义可得函数为偶函数．
【解析】
取x2=0，得2f（x1）•f（0）=f（x1）+f（x1）
即2f（x1）•f（0）=2f（x1），可得2f（x1）[f（0）-1]=0
∵x1是任意的实数，可得2f（x1）≠0
∴f（0）-1=0，解之得f（0）=1
∵x1=x且x2=-x，得2f（x）•f（-x）=f（0）+f（2x）
∴f（2x）=2f（x）•f（-x）-f（0）=2f（x）•f（-x）-1
再令x1=-x且x2=x，得2f（-x）•f（x）=f（0）+f（-2x）
可得f（-2x）=2f（x）•f（-x）-f（0）=2f（x）•f（-x）-1
因此，f（-2x）=f（2x），用代替x，可得f（-x）=f（x），
∴函数f（x）是偶函数
故答案为：1，偶