Question

如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，P在平面ABC内的射影为BF的中点O且PO=1，
（Ⅰ）证明PA⊥BF；
（Ⅱ）求面APB与面DPB所成二面角的大小．

Answer

（1）立体几何中证明直线与直线垂直，通常可用三垂线定理：因为P在平面ABC内的射影为O，所以PO⊥平面ABF，所以AO为PA在平面ABF内的射影；又因为O为BF中点，所以AO⊥BF，则PA⊥BF．
（2）解法一：
二面角的度量关键在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂线定理．由PO⊥平面ABF可得：AD⊥平面PBF，过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连AH、DH，则AH⊥PB，DH⊥PB，所以∠AHD为所求二面角平面角．
解法二：
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，P（0，0，1），A（0，，0），B（，0，0），D（0，2，0），这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
设平面PAB的法向量为，则，，设平面PDB的法向量为，则，，所以所求二面角的大小即为这两个法向量的夹角的大小．
【解析】
（Ⅰ）在正六边形ABCDEF中，△ABF为等腰三角形，
∵P在平面ABC内的射影为O，
∴PO⊥平面ABF，
∴AO为PA在平面ABF内的射影；
∵O为BF中点，∴AO⊥BF，
∴PA⊥BF．
（Ⅱ）解法一：
∵PO⊥平面ABF，
∴平面PBF⊥平面ABC；而O为BF中点，ABCDEF是正六边形，
∴A、O、D共线，且直线AD⊥BF，则AD⊥平面PBF；
又∵正六边形ABCDEF的边长为1，
∴，，．
过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连AH、DH，则AH⊥PB，DH⊥PB，
所以∠AHD为所求二面角平面角．
在△AHO中，OH=，=．
在△DHO中，；
而=
（Ⅱ）解法二：
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，P（0，0，1），A（0，，0），B（，0，0），D（0，2，0），
∴，，
设平面PAB的法向量为，则，，
得，；
设平面PDB的法向量为，则，，
得，；
=