Question

若数列{a_n}满足a_n+T=a_n，其中T为正整数，则称数列{a_n}为周期数列，其中T为数列{a_n}的周期．
（I）设{b_n}是周期为7的数列，其中b₁，b₂，…，b₇是等差数列，且b₂=3，b₃=9，求b₂₀₁₂；
（II）设{c_n}是周期为7的数列，其中c₁，c₂，…，c₇是等比数列，且c₁=1，c₁₁=8，对（I）中的数列{b_n}，记S_n=b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n，若S_n＞2011，求n的最小值．

Answer

（I）利用已知条件，求出等差数列的公比，利用等差数列的通项公式求出通项，从而求出b2012．
（II）根据条件得到Sn=b1c1+b2c2+…+bncn=1•1+3•2+5•22+…+（2n-1）2 n-1 由于（2n-1）2n-1是有一等差数列{2n-1}与等比数列{2n-1}的积构成的数列，利用错位相减的方法求出前n项和，最后求得Sn＞2011时n的最小值即可．
【解析】
（Ⅰ）∵b2=3，b5=9，∴d=，
∴bn=b2+（n-2）×2=2n-1（n≤7），
∴b2012=b287×7+3=b3=5．
（Ⅱ）∵c1=1，c4=8，∴q3=，q=2，
当n≤7时，Sn=b1c1+b2c2+…+bncn=1•1+3•2+5•22+…+（2n-1）2 n-1  ①
2Sn=1•2+3•22+5•23+…+（2n-1）2 n-1    ②
①-②得
-Sn=1+2（2+22+…+2n-1）-（2n-1）2n
=1+-（2n-1）2n
=-3-（2n-3）2n
∴Sn=3+（2n-3）2n（n≤7）…（10分）
由S7=1411，S6=579，知S13=S7+S6=1411+579=1990＜2011，S14=2S7=2×1411=2822＞2011
所以满足Sn＞2011，n的最小值14． …（12分）