Question

已知函数f（x）=-．
（Ⅰ）当a=时，求函数f（x）在[-2，2]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）令g（x）=ln（x+1）+3-f′（x），若g（x）在（-）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）当a=时，f（x）=-，求导函数，确定函数的单调性，从而可确定函数的极值，进一步可得函数f（x）在[-2，2]上的最大值与最小值；
（Ⅱ）g（x）=ln（x+1）+3-f′（x）=ln（x+1）+2x2-4ax，求导函数，再考查h（x）=4x2+4（1-a）x+1-4a的对称轴为，分类讨论，即可求得实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）当a=时，f（x）=-，f′（x）=-（2x-3）（x+1）
令f′（x）＞0，可得-1＜x＜；令f′（x）＜0，可得x＜-1或x＞
∴函数的单调增区间为（-1，）；单调减区间为（-∞，-1），（，+∞）
∴x=-1时，函数取得极小值为，x=时，函数取得极大值为
∵f（-2）=，f（2）=
∴函数f（x）在[-2，2]上的最大值为、最小值为；
（Ⅱ）g（x）=ln（x+1）+3-f′（x）=ln（x+1）+2x2-4ax，g′（x）=
在（-）上恒有x+1＞0
考查h（x）=4x2+4（1-a）x+1-4a的对称轴为（9分）
（i）当，即a≥0时，应有△=16（1-a）2-16（1-4a）≤0
解得：-2＜a≤0，所以a=0时成立（11分）
（ii）当，即a＜0时，应有h（）＞0，即：1-4（1-a）×+1-4a＞0，解得a＜0（13分）
综上：实数a的取值范围是a≤0（14分）