Question

已知f′（x）是函数f（x）=x²+（n∈N^*）的导函数，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f′（a_n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（2n-1）（2-a_n），S_n为数列{b_n}前n项和，求S_n．

Answer

（1）由条件求出f′（x）=x+，于是an+1=f′（an）=an+，计算 an-a1 的值为1-，可得 an．
（2）由于bn=（2n-1）（2-an）=（2n-1）•，求出前n项和 Sn 的解析式，用错位相减法求得 （1-）Sn 的值，
即可求得Sn的值．
解 （1）∵函数f（x）=x2+，n∈N*，
∴f′（x）=x+，于是an+1=f′（an）=an+，从而 an+1-an=，n∈N*，（3分）
∴an-a1=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+（a2-a1）
=++…++=1-，即 an=2-，n∈N*．  （6分）
（2）∵bn=（2n-1）（2-an）=（2n-1）•，
∴Sn=1×1+3×+5×+…+（2n-1），故=1×+3×+5×+…+（2n-1），
用错位相减法求得 （1-）Sn=1+2[++…+]-（2n-1）=3--=3-，…（9分）
故Sn=6-．（12分）