Question

（1）求证：a⁵+b⁵≥a²b³+a³b²，（a，b∈R₊）；
（2）用反证法证明：若a，b，c均为实数，且，，，求证a，b，c中至少有一个大于0．

Answer

（1）化简a5+b5-（ a2b3+a3b2 ）等于 （a3-b3）（a2-b2），分a≥b＞0时和b≥a＞0时两种情况，都能推出（a3-b3）（a2-b2）≥0，从而证得不等式成立．
（2）假设a、b、c都小于或等于0，则有a+b+c=（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2+π-3≤0，得出矛盾，可得假设不成立，命题得证．
证明：（1）∵a，b∈R+，且a5+b5-（ a2b3+a3b2 ）=a2（a3-b3）+b2（b3-a3）=（a3-b3）（a2-b2），
当a≥b＞0时，（a3-b3）≥0，（a2-b2）≥0，∴（a3-b3）（a2-b2）≥0，
故 a5+b5≥a2b3+a3b2 ．
当b≥a＞0时，（a3-b3）≤0，（a2-b2）≤0，∴（a3-b3）（a2-b2）≥0，
故 a5+b5≥a2b3+a3b2 ．
（2）假设a、b、c都小于或等于0，则有a+b+c=（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2+π-3≤0，
故 （x-1）2+（y-1）2+（z-1）2≤3-π＜0，矛盾，故假设不成立，
即a，b，c中至少有一个大于0．