Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方体，求：
（1）直线AC₁与平面AA₁B₁B所成角的正切值；
（2）二面角B-AC₁-D的大小；
（3）求点A到平面BDC₁的距离．

Answer

（1）连接AB1，说明AB1是AC1在平面AA1B1B上的射影，推出∠C1AB1就是AC1与平面AA1B1B所成的角，求出直线AC1与平面AA1B1B所成的角的正切值即可．
（2）过B作BE⊥AC1，垂足为E，连接ED，说明∠AEB是二面角B-AC1-D的平面角，在△DBE中，求出二面角B-AC1-D的大小即可．
（3）设点A到平面BDC1的距离为h，通过，与，求出A到平面BDC1的距离．
【解析】
（1）连接AB1，∵ABCD-A1B1C1D1是正方体
∴B1C1⊥平面AA1B1B，AB1是AC1在平面AA1B1B上的射影
∴∠C1AB1就是AC1与平面AA1B1B所成的角
在△C1AB1中，tan∠C1AB1=
∴直线AC1与平面AA1B1B所成的角的正切值为．
（2）过B作BE⊥AC1，垂足为E，连接ED
∵△ABC1≌△ADC1，
∴∠BAC1=∠DAC1
∵AB=AD，∠BAC1=∠DAC1，AE=AE
∴△ABE≌△ADE，
∴∠AEB=∠AED=
∴∠AEB是二面角B-AC1-D的平面角
在△DBE中，BE=ED=，BD=，
∴cos∠AEB=-，即∠AEB=120°
∴二面角B-AC1-D的大小为120°．
（3）设点A到平面BDC1的距离为h
∵==，
==，
∴h=，即A到平面BDC1的距离为．