Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
（1）求证：直线A₁B∥平面ACD₁；
（2）求证：平面ACD₁⊥BD₁D平面．
（3）若边长为4，求三棱锥D₁-ABC的体积．

Answer

（1）连接A1B，则四边形A1BCD1是平行四边形，可得A1B∥CD1，利用线面平行的判定，即可得到结论；
（2）先证明AC⊥平面BD1D，再利用面面垂直的判定可得结论；
（3）由题意，D1D⊥平面ABCD，利用三棱锥的体积公式即可得到结论．
（1）证明：连接A1B，则四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，

∵A1B⊄平面ACD1，CD1⊂平面ACD1，
∴直线A1B∥平面ACD1；
（2）证明：平面BD1D即对角面BB1D1D
∵AC⊥BD，AC⊥BB1，BD与BB1都在平面BD1D内且相交于B，∴AC⊥平面BD1D．
又AC⊂平面ACD1，
∴平面ACD1⊥平面BD1D平面；
（3）【解析】
由题意，D1D⊥平面ABCD．
∵边长为4，
∴三棱锥D1-ABC的体积为=．