Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，AC⊥BC．侧面A₁ABB₁是边长为a的菱形，且垂直于底面ABC，∠A₁AB=60°，E，F分别是AB₁，BC的中点．  
（1）求证：直线EF∥平面A₁ACC₁；   
（2）在线段AB上确定一点G，使平面EFG⊥平面ABC，并给出证明；  
（3）记三棱锥A-BCE的体积为V，且，求a的取值范围．

Answer

（1）连接A1C，A1E，结合菱形的性质及F是BC的中点，由三角形的中位线定理，可证得EF∥A1C，由线面平行的判定定理即可得到直线EF∥平面A1ACC1；   
（2）取G为线段AB上靠近B点的四等分点，连接EG，FG，由菱形的性质及E是A1B的中点，可得EG⊥AB，又由平面A1ABB1⊥平面ABC，根据面面垂直的性质定理可得EG⊥平面ABC，又由面面垂直的判定定理，即可得到平面EFG⊥平面ABC；
（3）由△A1AB是边长为a的等边三角形，则我们可以求出EG的长，结合（2）中EG⊥平面ABC，利用等体积法，我们易将棱锥A-BCE的体积为V表示为a表达式，结合，构造关于a的不等式，解不等式即可得到答案．
（1）证明：连接A1C，A1E．因为  侧面A1ABB1是菱形，E是AB1的中点，所以  E也是A1B的中点，
又因为  F是BC的中点，所以  EF∥A1C．
因为  A1C⊂平面A1ACC1，EF⊄平面A1ACC1，所以  直线EF∥平面A1ACC1．                 …（4分）
（2）【解析】
当时，平面EFG⊥平面ABC，证明如下：…（5分）
连接EG，FG．因为  侧面A1ABB1是菱形，且∠A1AB=60°，所以△A1AB是等边三角形．
因为  E是A1B的中点，，所以  EG⊥AB．
因为  平面A1ABB1⊥平面ABC，且平面A1ABB1∩平面ABC=AB，所以  EG⊥平面ABC．
又因为  EG⊂平面EFG，所以  平面EFG⊥平面ABC．                                   …（8分）
（3）【解析】
因为△A1AB是边长为a的等边三角形，所以  ，
所以  ．
根据  ，解得，即 ．                  …（12分）