Question

正方形ABCD，E为正方形对角线交点，将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，有如下四个结论：
①AB∥CD；②AC⊥BD；③△ACD是等边三角形；④平面AEC⊥平面BCD．其中正确的结论是    ．

Answer

由异面直线的判定定理，可判断AB与CD异面，进而得到①的真假；取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．根据线面垂直的判定及性质可判断②的真假；求出AC长后，可以判断③的真假；由AE垂直BD，结合面面垂直的性质可得AE⊥平面BCD，进而可由面面垂直的判定定理，判断④的真假．
【解析】
由已知可得AB∩平面BCD=B，B∉CD
故AB与CD异面，故①错误
取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．
∴BD⊥面AEC．
∴BD⊥AC，故②正确．
设正方形边长为a，则AD=DC=a，AE=a=EC．
∴AC=a．
∴△ACD为等边三角形，故③正确
∵AB=AD，E为BD中点，
∴AE⊥BD，
又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AE⊂平面ABD
故AE⊥平面BCD，
又∵AE⊂平面AEC
∴平面AEC⊥平面BCD，故④正确；
故答案为：②③④