Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x，2）和（x+2π，-2）．
（1）写出f（x）的解析式及x的值；
（2）若锐角θ满足，求f（2θ）的值．

Answer

（1）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜的图象可求得A，ω，及φ的值，从而可求得f（x）的解析式及x的值；
（2）依题意可求得sinθ的值，而f（2θ）=2sin（θ+），利用两角和的正弦即可求得答案．
【解析】
（1）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜的图象可知A=2，=2π，
∴=4π，
∴ω=；
又f（0）=1，
∴2sinφ=1，而|φ|＜，
∴φ=．
∴f（x）=2sin（x+）；
又x+=，
∴x=．
（2）∵cosθ=，θ为锐角，
∴sinθ=，
∴f（2θ）=2sin（×2θ+）
=2sin（θ+）
=2（sinθcos+cosθsin）
=2（×+×）
=．