Question

已知函数f（x）=（x²-a）e^x，其中a≥3，e为自然对数的底数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．

Answer

（1）求导数f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即得f（x）的单调区间；
（2）根据（1）及a≥3可判断f（x）在[0，1]上的单调性，由单调性可求f（x）的最大值；
【解析】
（1）∵f（x）=（x2-a）ex，其中a≥3，
∴f′（x）=2xex+（x2-a）ex=（x2+2x-a）ex，
令f′（x）＞0得，x＜-1-或x＞-1+，
令f′（x）＜0得，-1-＜x＜-1+，
所以函数f（x）在（-∞，-1-）和（-1+，+∞）上递增，在（-1-，-1+）上递减；
（2）由（1）知f（x）在（-∞，-1-）和（-1+，+∞）上递增，在（-1-，-1+）上递减，
又a≥3，所以-1+≥1，则f（x）在[0，1]上单调递减，
所以当x=0时f（x）取得最大值为-a；