Question

若直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围是    ．

Answer

先整理C的方程可知曲线C的图象为半圆，要满足仅有一个公共点，有两种情况，一种是与半圆相切，根据原点到直线的距离为半径2求得b，一种是与半圆相交但只有一个交点，根据图象可分别求得b的上限和下限，最后综合可求得b的范围．
【解析】
依题意可知曲线C的方程可整理成y2+x2=2（y≥0）
要使直线l与曲线c仅有一个公共点，有两种情况
（1）直线与半圆相切，原点到直线的距离为1，即=2，b=
（2）直线过半圆的右顶点和过半圆的左边顶点之间的直线都满足
过右顶点时，2+b=0，b=-2；过左顶点时-2+b=0，b=2，故b的范围为-2＜b≤2
综合得b的范围（-2，2]∪{-2}
故答案为：（-2，2]∪{-2}．