Question

在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，四边形ABCD是菱形．
（Ⅰ）求证：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求该多面体的体积．

Answer

（I）利用正三棱柱的性质，可得BB1⊥AD，结合菱形ABDC的对角线AD⊥BC，可证出AD⊥平面BCC1B1，最后结合面面垂直的判定定理，可得平面ADC1⊥平面BCC1B1；
（II）由题意，易得正三棱柱ABC-A1B1C1的体积，再根据（I）中的线面垂直结合题中所给的数据算出四棱锥D-B1C1CB的体积，将两体积相加即得求该多面体的体积．
【解析】
（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，∴BB1⊥AD，
又∵四边形ABDC是菱形，∴AD⊥BC，
∵BB1，BC⊂平面BB1C1C，且BC∩BB1=B，
∴AD⊥平面BCC1B1…（5分）
∵AD⊂平面ADC1，
∴平面ADC1⊥平面BCC1B1…（7分）
（Ⅱ）∵正三角形ABC边长为2，可得S△ABC=×22=，三棱柱的高AA1=2
∴正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为…（10分）
又∵AD⊥平面BCC1B1，可得四棱锥D-B1C1CB的高在AD上且等于AD的
∴四棱锥D-B1C1CB的体积为…（13分）
所以该多面体的体积为…（14分）