Question

过圆x²+y²=2外一点P（4，2）向圆引切线．
（1）求过点P的圆的切线方程；
（2）若切点为P₁、P₂，求直线P₁P₂的方程；
（3）求P₁、P₂两点间的距离．

Answer

（1）由题意可得，切线的斜率存在，设切线方程为 y-2=k（x-4），根据圆心到切线的距离等于半径求得k的值，即可得到切线方程．
（2）设切点P（x1，y1 ）、Q （x2，y2），则两条切线的方程可以写成为 x1x+y1y=2，x2x+y2y=2．再由4x1+2y1=0，4x2+2y2=2 可得两个切点都在直线4x+2y=2上，由此可得直线P1P2的方程．
（3）求出圆心（0，0）到直线P1P2的距离d，利用弦长公式求得P1、P2两点间的距离．
【解析】
（1）由题意可得，切线的斜率存在，设切线方程为 y-2=k（x-4），即kx-y+2-4k=0，
则圆心O（0，0）到切线的距离 ==半径r，解得k=1，或k=，
故切线的方程为 x-y-2=0，或 x-7y+10=0．
（2）设切点P（x1，y1 ）、Q （x2，y2），则两条切线的方程可以写成为 x1x+y1y=2，x2x+y2y=2．
再由点（4，2）为两条切线的交点，故有4x1+2y1=0，4x2+2y2=2．
故两个切点都在直线4x+2y=2上，故直线P1P2的方程为 2x+y-1=0．
（3）由于圆心（0，0）到直线P1P2的距离d==，半径等于，
故弦长等于2=2=，
即P1、P2两点间的距离为 ．