Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，O是AC与BD的交点，E是B1B上一点，且B₁E=．
（Ⅰ）求证：B₁D⊥平面D₁AC；
（Ⅱ）求异面直线D₁O与A₁D所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线D₁O与平面AEC所成角的正弦值．

Answer

由于是正方体所以建立空间直角坐标系解题简洁
（Ⅰ）求出，，即可证明B1D，垂直平面D1AC内的两条相交直线AC与AD1，就证明了B1D⊥平面D1AC．
（（Ⅱ）求向量D1O与向量A1D，的数量积，即可求出异面直线D1O与A1D所成角的余弦值；
（Ⅲ）求平面AEC的法向量为n，再求出，利用，即可求直线D1O与平面AEC所成角的正弦值．
【解析】
（Ⅰ）如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz．
则D（0，0，0），C（0，2，0），A（2，0，0），B1（2，2，2），D1（0，0，2）
∴，，．
∵
又AC与AD1交于A点，
∴B1D⊥平面D1AC．（4分）
（Ⅱ）设A1D与D1O所成的角为θ．D1（0，0，2），O（1，1，0），A1（2，0，2）．
∴，．
∴．
所求异面直线A1D与D1O所成角的余弦值为．（9分）
（Ⅲ）设平面AEC与直线D1O所成的角为ϕ．
设平面AEC的法向量为n=（x，y，z）．，C（0，2，0），A（2，0，0），，．
令z=1，则∴．
∴．
所求平面AEC与直线D1O所成角的正弦值为．（14分）