Question

给定集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}（n∈N，n≥3），定义a_i+a_j（1≤i＜j≤n，i，j∈N）中所有不同值的个数为集合A两元素和的容量，用L（A）表示，若A={2，4，6，8}，则L（A）=    ；若数列{a_n}是等差数列，设集合A={a₁，a₂，a ₃，…，a _m}（其中m∈N^*，m为常数），则L（A）关于m的表达式为    ．

Answer

严格利用题目给出的新定义采用列举法来进行求解即可．
【解析】
∵A={2，4，6，8}，
∴ai+aj（1≤i＜j≤4，i，j∈N）分别为：2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，
其中2+8=10，4+6=10，
∴定义ai+aj（1≤i＜j≤4，i，j∈N）中所有不同值的个数为5，
即当A={2，4，6，8}时，L（A）=5．
当数列{an}是等差数列，且集合A={a1，a2，a 3，…，a m}（其中m∈N*，m为常数）时，
ai+aj（1≤i＜j≤m，i，j∈N）的值列成如下各列所示图表：
a1+a2，a2+a3，a3+a4，…，am-2+am-1 ，am-1+am，
a1+a3，a2+a4，a3+a5，…，am-2+am ，
…，…，…，…，
a1+am-2 ，a2+am-1，a3+am，
a1+am-1，a2+am，
a1+am，
∵数列{an}是等差数列，
∴a1+a4=a2+a3，
a1+a5=a2+a4，
…，
a1+am=a2+am-1，
∴第二列中只有a2+am的值和第一列不重复，即第二列剩余一个不重复的值，
同理，以后每列剩余一个与前面不重复的值，
∵第一列共有m-1个不同的值，后面共有m-1列，
∴所有不同的值有：m-1+m-2=2m-3，
即当集合A={a1，a2，a 3，…，a m}（其中m∈N*，m为常数）时，L（A）=2m-3．