Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中．
（1）若BB₁=BC，B₁C⊥A₁B，证明：平面AB₁C⊥平面A₁BC₁；
（2）设D是BC的中点，E是A₁C₁上的一点，且A₁B∥平面B₁DE，求的值．

Answer

（1）通过证明B1C⊥A1B，B1C⊥BC1，A1B∩BC1=B，证明BC1⊥平面A1BC1，然后证明平面AB1C⊥平面A1BC1；
（2）设D是BC的中点，设B1D交BC1于点F，连接EF，则平面A1BC1∩平面B1DE=EF．利用=
求出的值．
（本题满分14分）
【解析】
（1）因为BB1=BC，所以侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1．   …（3分）
又因为B1C⊥A1B，且A1B∩BC1=B，所以BC1⊥平面A1BC1，…（5分）
又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1．…（7分）
（2）设B1D交BC1于点F，连接EF，则平面A1BC1∩平面B1DE=EF．
因为A1B∥平面B1DE，A1B⊂平面A1BC1，所以A1B∥EF．    …（11分）
所以=．
又因为=，所以=．  …（14分）