Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x²+y²=1上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．
（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
（ii）求OA²+OB²．

Answer

（1）由已知中椭圆的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上我们可以求出a，b，c的值，进而得到椭圆的方程；
（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），由．可得x，y的坐标表达式，进而根据M在椭圆上，可得为定值．
（ii）由（i）中结论，可得y12+y22=1，及x12+x22=2，进而得到OA2+OB2
【解析】
（1）依题意，得  c=1．于是，a=，b=1．     …（2分）
所以所求椭圆的方程为． …（4分）
（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），
则①，②．
又设M（x，y），因，故…（7分）
因M在椭圆上，故．
整理得．
将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得  ．
所以，为定值． …（10分）
（ii），故y12+y22=1．
又，故x12+x22=2．
所以，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=3．  …（16分）