Question

已知数列{a_n}满足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，（n=1，2，3，…）
（I）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅲ）令b_n=（2-n）（a_n-1）（n=1，2，3…），如果对任意n∈N^*，都有，求实数t的取值范围．

Answer

（I）利用条件a1+a2+a3+…+an=n-an，n=1，2，3可求；
（Ⅱ）再写一式a1+a2+a3++an+an+1=n+1-an+1与已知条件相减可得2an+1-an=1，即2an+1=an+1，从而有，所以可证数列{an-1}是等比数列；
（Ⅲ）由（II）可得，进而可得数列{bn}的通项．考查其单调性，从而求得最大值，故可求实数t的取值范围．
【解析】
（I）..（3分）
（II）由题可知：a1+a2+a3++an-1+an=n-an①a1+a2+a3++an+an+1=n+1-an+1②
②-①可得2an+1-an=1..（5分）
即：，又..（7分）
所以数列{an-1}是以为首项，以为公比的等比数列（8分）
（Ⅲ）由（II）可得，（9分）
（10分）
由可得n＜3
由bn+1-bn＜0可得n＞3（11分）
所以b1＜b2＜b3=b4＞b5＞＞bn＞
故{bn}有最大值
所以，对任意n∈N*，有（12分）
如果对任意n∈N*，都有，即成立，
则，故有：，（13分）
解得或
所以，实数t的取值范围是（14分）