Question

已知数列{ a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+1，设b_n=a_n+1-2a_n．
（Ⅰ）证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）数列{c_n}满足（n∈N^*），设T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+，…+c_nc_n+1，求证，对一切n∈N^*不等式恒成立．

Answer

（Ⅰ）由Sn+1=4an+1可得n≥2时，Sn=4an-1+1，两式作差即可得一递推式，根据bn=an+1-2an及等比数列的定义即可证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得bn，进而求得cn，利用裂项相消法可求得Tn，根据Tn表达式即可证明结论；
证明：（Ⅰ）由于Sn+1=4an+1，①
当n≥2时，Sn=4an-1+1．        ②
①-②得 an+1=4an-4an-1．    所以an+1-2an=2（an-2an-1）．
又bn=an+1-2an，所以bn=2bn-1．
因为a1=1，且a1+a2=4a1+1，所以a2=3a1+1=4． 所以b1=a2-2a1=2．
故数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知bn=2n，则cn==（n∈N*）．
Tn=c1c2+c2c3+c3c4+…+cncn+1
=+
=
=-．