Question

曲线f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b，c∈R）通过点P（0，2a²+8），在点Q（-1，f（-1）） 处的切线垂直于y轴，则的最小值为    ．

Answer

把（0，2a+3）代入到f（x）的解析式中得到c与a的解析式，解出c；求出f'（x），因为在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，得到切线的斜率为0，即f′（-1）=0，代入导函数得到b与a的关系式，解出b，最后利用基本不等式求出的最小值即可．
【解析】
由f（x）=ax2+bx+c得到f'（x）=2ax+b．
因为曲线y=f（x）通过点（0，2a2+8），故f（0）=c=2a2+8，
又曲线y=f（x）在（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，故f'（-1）=0，
即-2a+b=0，因此b=2a．
则=，
则的最小值为4．
故答案为：4．