Question

设z是虚数，满足是实数，且-1＜ω＜2．
（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；
（2）设．求证：u是纯虚数；
（3）求ω-u²的最小值．

Answer

（1）设出复数z，写出ω的表示式，进行复数的运算，把ω整理成最简形式，根据所给的ω的范围，得到ω的虚部为0，实部属于这个范围，得到z的实部的范围．
（2）根据设出的z，整理u的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长是1，得到u是一个纯虚数．
（3）=，再利用基本不等式即可求ω-u2的最小值．
【解析】
（1）由z是虚数，设z=a+bi（a，b∈R，b≠0）则
∵ω∈R∴且b≠0得a2+b2=1即|z|=1
此时，ω=2a，∵-1＜ω＜2∴即z的实部的取值范围为．…（4分）
（2）．
∵a2+b2=1
∴u=又故u是纯虚数．…（8分）
（3）=
由知，
故当且仅当时ω-u2的最小值为1．…（14分）．